Simetrías de Orden Superior: Glide y Twist

La simetría es una característica presente en muchos ámbitos de la naturaleza y el arte. Ejemplo de ello son las distintas imágenes ilustradas en la Figura 1, que incluyen tanto a plantas y adornos florales como a bocetos artísticos, ilustraciones y mosaicos ornamentales.  De hecho, la simetría juega un papel muy importante dentro de las matemáticas y la física [3]. Desde un punto de vista matemático, la simetría se define como una transformación de un sistema o estructura que mantiene invariante ciertas propiedades de la misma. Esto puede incluir tanto a simples operaciones espaciales de rotación o reflexión, como a complejas y abstractas simetrías espaciotemporales. La correcta aplicación de las simetrías permite profundizar en el conocimiento de la naturaleza, a la vez que reduce la complejidad en la resolución o análisis de ciertos problemas, tanto desde un punto numérico como experimental. Mismamente, en primeras estimaciones, nuestro planeta es aproximado como un cuerpo esférico de masa M, pese a que se conoce que la Tierra no es exactamente esférica (se encuentra achatada en los polos y expandida en el ecuador). De este modo, la simetría esférica permite simplificar enormemente los cálculos de los campos gravitatorios que involucran a la Tierra.

Figura 1. Ejemplos de simetrías en la naturaleza y en el arte. (a), (b) Simetrías en la naturaleza (Imágenes extraídas de [1]). (c) Explicación de la simetría glide en el museo de M.C. Escher en La Haya, Países Bajos (Imagen extraída de [2]). (d) Teselado árabe en La Alhambra, Granada (Imagen extraída de [2]).

Simetrías de Orden Superior

En las últimas décadas, se han dedicado grandes esfuerzos en distintos campos de la ciencia e ingeniería la estudio y aplicación de los denominados metamateriales, materiales artificiales capaces de producir respuestas físicas no observables en la naturaleza con materiales convencionales, como es el caso de índices de refracción negativos o invisibilidad electromagnética (cloaking, en inglés) [4]. En concreto, han llamado especialmente la atención aquellos metamateriales basados en el uso de elementos periódicos, es decir, de elementos que se repiten sucesivamente en el espacio. Esto se debe al hecho de que, en el caso de estructuras periódicas, un problema muy complejo se puede reducir al “simple” análisis de un único elemento, ya que todos los demás son iguales. De manera formal, a esto se le conoce como el Teorema de Bloch-Floquet, Teorema de Bloch o Teorema de Floquet, en honor al físico suizo Felix Bloch (galardonado con el premio Nobel) y al matemático francés Gaston Floquet. Lo anteriormente expuesto no es nada raro, de hecho, es algo análogo a lo que sucede con las funciones trigonométricas seno y coseno.  Al repetirse infinitamente sus ciclos, basta con sólo analizar el primero de ellos, ya que el resto son iguales y no aportan información adicional.

Cuando la celda unidad de una estructura periódica es invariante bajo una traslación espacial  y otro operador espacial como un giro o una reflexión, se dice que la estructura posee una simetría de orden superior. La simetría de orden superior es la simetría mínima que define toda la estructura a partir de una parte de la celda unidad [5]. En general, existen dos tipos de simetrías de orden superior: las simetrías glide o de reflexión y twist o de giro. Las estructuras que poseen simetría de orden superior se introdujeron por primera vez en la década de 1960, para configuraciones que eran periódicas en una única dimensión (unidimensionales o 1D) [5,6]. Sin embargo, la pobre capacidad de cómputo numérico de la época, sumada al hecho de que las estructuras 1D son menos ventajosas en la práctica que sus análogos en dos (2D) y tres (3D) dimensiones, provocaron que la comunidad científica no prestara mayor atención a estos estudios. Estos resultados no suscitaron nuevas investigaciones, con clara aplicación práctica, hasta más de 40 años después, en la década de 2010. Se observó que las simetrías glide y twist permiten una dispersión de índice negativo cuando de otro modo no es posible [7], y un mayor índice de refracción efectivo con respecto a estructuras periódicas convencionales [8, 9]. También se ha comprobado que las metasuperficies, metamateriales bidimensionales, con simetría glide pueden reducir considerablemente la dispersión en frecuencia en la propagación de las ondas electromagnéticas [10], aumentando el ancho de banda  de dispositivos de radiofrecuencia y fotónicos. Algunas de estas ventajas están siendo exploradas a nivel de investigación por nuestro grupo, el grupo SWAT de la Universidad de Granada.

Diagramas de Dispersión

Una de las formas de representación más usadas para evaluar las características de las estructuras periódicas son los diagramas de dispersión. Estos diagramas representan, básicamente, la relación que existe entre la constante de fase (β) y la frecuencia (f) de la onda que se propaga en la estructura periódica que se está analizando. Un ejemplo de diagrama de dispersión se muestra en la Figura 2. En él se muestran la relación de dispersión de cuatro casos diferentes: (a), (b), (c) y la línea de la luz (line of light). En este último caso, la relación que existe es lineal, es decir, la frecuencia puede modelarse como una función f(x) polinómica de grado 1 que pasa por el origen y depende de la constante de fase (x). Esta función tiene un valor exacto para su pendiente que es la velocidad de la luz (c = 300,000 km/s). Por tanto, con el diagrama de dispersión se puede calcular de manera sencilla la velocidad de fase de la onda dentro de la estructura periódica, dividiendo la frecuencia angular  entre β. Este valor de velocidad (v) puede ser a su vez usado para calcular el índice de refracción ya que este se define como c/v. Este parámetro es muy utilizado, por ejemplo, para el diseño de antenas tipo lente en frecuencias de microondas [12]. Centrándonos ahora en el caso (a), la línea roja, podemos ver como esta se asemeja en forma a la línea de la luz pero con una pendiente menor ya que para la misma β se tiene una frecuencia más baja. Esta pendiente menor se traduce en una velocidad de propagación menor y por lo tanto en un índice de refracción mayor con respecto a la de la velocidad de la luz. En el caso (b), línea azul rayada, se observa que tiene una pendiente incluso menor que en el caso (a) y que en el final del eje βp/π, la línea azul (compuesta de dos líneas) se separa formándose una banda prohibida o stopband. Dentro de la banda prohibida, ninguna onda puede propagarse. Dicho de otra manera, la estructura periódica del caso (b) proporciona una banda de frecuencias (desde 10 GHz a 14 GHz, aproximadamente) donde las ondas no pueden propagarse. Esto también ocurre en el caso (c), donde la banda prohibida abarca una región de frecuencias mucho mayor. Sin embargo, la situación es distinta para el caso (a), donde no existe banda prohibida y las ondas se pueden propagar desde el origen de frecuencias hasta unos 22 GHz.

Figura 2. Diagrama de dispersión. Imagen extraída de [11].

Además, el diagrama de dispersión también aporta información sobre el tipo de modo que se propaga en la estructura periódica, dependiendo de su posición con respecto a la línea de luz. Si la línea del modo que se propaga en la estructura está por debajo de la línea de la luz (casos mostrados en la Figura 2) se dice que es un modo de “onda lenta” o slow wave (su velocidad de fase es menor a la de la luz), mientras que si está por encima se dice que es un modo de “onda rápida” o fast wave (su velocidad de fase es superior a la de la luz). El hecho de que la velocidad de fase sea mayor a la de la luz no viola el principio de relatividad, ya que es la velocidad de grupo (velocidad del paquete de ondas) la que debe ser inferior a la velocidad de la luz [13]. Por suerte, esto es así en una guía de ondas: la velocidad de grupo es menor a la velocidad de la luz en el vacío. La Figura 3 ilustra la zona fast wave en azul mientras que la zona slow wave está en blanco. Ambas zonas están separadas por la línea de la luz (k_o = β), que marcaría la propagación de la luz en el espacio libre, sin osbtáculos. Un modo fast wave tiene la peculiaridad de que puede ser radiado si la estructura periódica está abierta. En esto se basa el funcionamiento de un tipo de antenas llamadas leaky-wave antennas [14]

Figura 3. Diagrama de dispersión donde se marca en azul la zona de onda rápida (fast wave) y en blanco la zona de onda lenta (slow wave), ambas zonas están separadas por la línea de la luz (k_o = β). Imagen extraída de [14].

Simetría Glide

El primer tipo de simetría de orden superior en el que nos centraremos es la simetría de reflexión, más conocida por la comunidad internacional como simetría glide.   Esta simetría se forma a partir de las operaciones de reflexión y traslación (de medio periodo d) de la celda considerada. En la Figura 4 se muestra un ejemplo de la formación de este tipo de simetría. En la imagen de la izquierda podemos observar una estructura periódica convencional, formada por una única placa con muescas. Enla imagen central, observamos la adición de una segunda placa, formada por la reflexión de la placa inferior con respecto al plano central (marcado con líneas discontinuas). En la imagen de la derecha, trasladamos medio periodo d/2 la placa superior para formar la estructura final con simetría glide.

Figura 4. Creación de una estructura con simetría glide a partir de las operaciones de reflexión y traslación de medio periodo.

En los últimos diez años, ha habido numerosos estudios de investigación reportando los beneficios de la aplicación de simetrías glide en estructuras convencionales [15]. Estos estudios han demostrado que la aplicación de la simetría glide: 

1) Elimina la banda prohibida que existe entre el primer y el segundo modo de Floquet. Véase el caso (a) expuesto en la Figura 2.

2) Reduce la dispersión en frecuencia de la estructura en cuestión. Esto se traduce, en el diagrama de dispersión mostrado en la Figura 5, en que la curva asociada a la estructura glide (curva azul) es una línea recta, es decir, “la curva no se dobla” a diferencia de lo que ocurre en la estructura no glide (curva roja). Este hecho, en combinación con el expuesto en el punto 1), permite la fabricación de dispositivos electrónicos de poca dispersión y gran ancho de banda de operación. 

3) Aumenta el índice de refracción equivalente de la estructura, hecho que también se puede observar en la Figura 5. En este caso, la curva de la estructura glide (curva azul) se aleja en mayor medida de la línea de la luz (curva gris) en comparación con la curva de la estructura no glide (curva roja), que se encuentra más cerca. Tal y como se comentó en el apartado de diagramas de dispersión, a mayor lejanía de un punto del diagrama con respecto a la línea de la luz, mayor es el índice de refracción (menor la velocidad de propagación). Esto es de gran interés para el diseño de lentes y elementos desfasadores de microondas.

4) Tiene la capacidad de producir anisotropía en un gran ancho de banda, lo cual es fundamental para algunas aplicaciones, un poco más exóticas que las descritas anteriormente, como son la compresión de lentes, la transformación del frente de onda y la invisibilidad electrónica o cloaking [4]. Para más información sobre qué es la anisotropía, vea nuestra anterior entrada del blog.

Figura 5. Diagrama de dispersión de una estructura glide y de una estructura convencional (non-glide). Imagen extraída de [16].

Figura 6. Ejemplos de dispositivos de radiofrecuencia que emplean simetría glide. (a) Agrupación de antenas (Imagen extraída de [17]). (b) Antena leaky-wave (Imagen extraída de [18]). (c) Lente de ojo de pez de Maxwell (Imagen extraída de [10]). (d) Filtro y desfasador en frecuencias milimétricas (Imagen extraída de [19]).

En la Figura 6 se muestran algunos dispositivos de radiofrecuencia que hacen uso de la simetría glide, entre los que destacamos varios tipos de antenas (y agrupaciones de antenas) [17,18], una lente de ojo de pez de Maxwell [10] y unos filtros y desfasadores en frecuencias milimétricas [19].

Simetría Twist

El otro tipo de simetría superior que recientemente está siendo aplicada en diseños de RF es la llamada simetría twist. Esta simetría superior se basa en la translación (p₁) y rotación (ф) de elementos en una estructura periódica a lo largo del eje de giro (twist axis). En la Figura 7 se ilustra un ejemplo de estructura periódica con simetría twist. En ella los elementos periódicos son los cilindros que se repiten a lo largo del cilindro con mayor radio orientado sobre el eje de giro. En este ejemplo, los elementos periódicos realizan una rotación (ф) y una translación (p₁) en cada repetición a lo largo del periodo (P) de la estructura. Además, en este ejemplo se puede observar cuatro repeticiones (4-fold) de la aplicación de la simetría twist a lo largo de un periodo.

Figura 7. Ejemplo de estructura periódica con simetría twist. Imagen extraída de [9]. 

Mediante la aplicación de este tipo de simetría superior al diseño de una antena de hélice convencional, se puede conseguir ventajas en el diseño, como la miniaturización de su volumen [9]. Si a una antena de hélice convencional se le introducen corrugaciones de forma periódica a lo largo de su longitud, el índice de refracción equivalente de la estructura va aumentando tal y como se puede observar en el diagrama de dispersión de la Figura 8(a). Cuanto mayor sea el valor del índice de refracción equivalente, más capacidad se tiene de reducir los parámetros constitutivos de la antena de hélice, en este caso su radio y periodo entre vueltas de la hélice, sin alterar su frecuencia de funcionamiento y su directividad. Todo esto conlleva a la capacidad de miniaturización de la antena de hélice como se puede ver en la Figura 8(b) donde los diagramas de radiación para diferentes frecuencias también se muestran. 

Figura 8. (a) Celda unidad y diagrama de dispersión de la antena de hélice con simetría twist. (b) Comparación gráfica entre la antena de hélice convencional (r = 19.5 mm) y la antena de hélice miniaturizada (r = 14..8 mm). Imagen extraída de [9].

A lo largo de este documento, hemos visto todo el potencial que tiene la aplicación de simetrías de orden superior. De manera relativamente sencilla, se pueden introducir este tipo de simetrías en el diseño de dispositivos fotónicos o de radiofrecuencia para mejorar sus prestaciones. A partir de estructuras periódicas basadas en simetrías superiores, se están produciendo (y se producirán) dispositivos de radiofrecuencia que se utilizarán en los próximos sistemas de comunicaciones, sobre todo para el rango de las frecuencias milimétricas (desde 30 GHz hasta 300 GHz).    

Antonio Alex Amor y Ángel Palomares Caballero,

Investigadores del grupo SWAT de la Universidad de Granada

REFERENCIAS:

[1] Everything Soulful, “Sacred Symmetry: The Art of Nature,” https://everythingsoulful.com/sacred-symmetry-the-art-of-nature/

[2] O. Quevedo-Teruel, G. Valerio, Z. Sipus and E. Rajo-Iglesias, "Periodic Structures With Higher Symmetries: Their Applications in Electromagnetic Devices," IEEE Microw. Mag., vol. 21, no. 11, pp. 36-49, Nov. 2020.

[3] Salvador Centelles Chuliá, “Simetría: una de las herramientas más poderosas de la física,” https://bloggy.ific.uv.es/bloggy/index.php/2020/07/06/simetria-una-de-las-herramientas-mas-poderosas-de-la-fisica/

[4] Atria Innovation, “¿Qué son los metamateriales? Propiedades, beneficios y en qué campos se pueden emplear?,” 
https://www.atriainnovation.com/metamateriales-propiedades-beneficios-utilidades/#:~:text=Una%20de%20las%20propiedades%20que,aplicaciones%20de%20%C3%B3ptica%20y%20electromagnetismo.

[5] P. J. Crepeau and P. R. McIsaac, “Consequences of symmetry in periodic structures,” Proc. IEEE, vol. 52, no. 1, pp. 33–43, Jan. 1964. 

[6] R. Mittra and S. Laxpati, “Propagation in a waveguide with glide reflection symmetry,” Can. J. Phys., vol. 43, no. 2, pp. 353–372, 1965

[7] R. Quesada, D. Martín-Cano, F.J. García-Vidal, and J. Bravo-Abad, “Deep-subwavelength negative-index waveguiding enabled by coupled conformal surface plasmons,” Opt. Lett, vol. 39, no. 10, 2014.

[8] T. Chang et al., “Broadband giant-refractive-index material based on mesoscopic space-filling
curves,” Nat. Commun., vol. 7, no. 1, p. 12661, Nov. 2016.

[9] Á. Palomares-Caballero, P. Padilla, A. Alex-Amor, J. Valenzuela-Valdés,and O. Quevedo-Teruel, “Twist and glide symmetries for helix antenna design and miniaturization,” Symmetry, vol. 11, no. 3, p. 349, Mar. 2019.

[10] A. Alex-Amor et al., “Glide-Symmetric Metallic Structures With Elliptical Holes for Lens Compression,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., vol. 68, no. 10, pp. 4236-4248, Oct. 2020.

[11] Q. Chen, F. Ghasemifard, G. Valerio, and O. Quevedo-Teruel, “Modeling and dispersion analysis of coaxial lines with higher symmetries,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., vol. 66, no. 10, pp. 4338–4345, Oct. 2018.

[12] O. Quevedo-Teruel, J. Miao, M. Mattsson, A. Algaba-Brazalez, M. Johansson, L. Manholm “Glide-symmetric fully-metallic Luneburg lens for 5G Communications at Ka-band,” IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., vol. 17, no. 9, pp. 1588-1592, 2018. 

[13] ComPADRE,  “Velocidad de grupo y fase,”
https://www.compadre.org/osp/EJSS/4425/220.htm#:~:text=La%20velocidad%20de%20estas%20oscilaciones,la%20velocidad%20de%20la%20envolvente.&text=Esta%20expresi%C3%B3n%20para%20la%20velocidad,frecuencia%20versus%20n%C3%BAmero%20de%20onda.

[14] J. H. Choi, and Tatsuo Itoh,  Beam-Scanning Leaky-Wave Antennas, pp. 1697, 2015, in Handbook of Antenna Technologies, Springer, Singapore, 2016.

[15] O. Quevedo-Teruel, Q. Chen, F. Mesa, N.J.G. Fonseca, and G. Valerio, “On the Benefits of Glide Symmetries for Microwave Devices,” IEEE Journal of Microwaves, vol. 1, no. 1, pp. 457-469, winter 2021.

[16] M. Bagheriasl, O. Quevedo-Teruel and G. Valerio, “Bloch Analysis of Artificial Lines and Surfaces Exhibiting Glide Symmetry,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., vol. 67, no. 7, pp. 2618-2628, July 2019

[17] Á. Palomares-Caballero, A. Alex-Amor, J. Valenzuela-Valdés and P. Padilla, “Millimeter-Wave 3-D-Printed Antenna Array Based on Gap-Waveguide Technology and Split E-Plane Waveguide,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 69, no. 1, pp. 164-172, Jan. 2021.

[18] Q. Chen, O. Zetterstrom, E. Pucci, A. Palomares-Caballero, P. Padilla and O. Quevedo-Teruel, “Glide-Symmetric Holey Leaky-Wave Antenna With Low Dispersion for 60 GHz Point-to-Point Communications,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 68, no. 3, pp. 1925-1936, March 2020.

[19] Á. Palomares-Caballero, A. Alex-Amor, P. Padilla and J. F. Valenzuela-Valdés, “Dispersion and Filtering Properties of Rectangular Waveguides Loaded With Holey Structures,”  IEEE Trans. Microw. Theory Techn., vol. 68, no. 12, pp. 5132-5144, Dec. 2020.